Blog creado por estudiantes de la carrera de IEM
martes, 7 de enero de 2014
2.7 Concepto de variable de estado.
Definicion de las Variables de Estado
Diagrama de un sistema en variable de estado, o de espacio estado (ss).
/A - Matriz de transferencia
/B - Matriz de entrada
/C - Matriz de salida
/D - Matriz de transmisión directa (Bypass)
La variable de estado es la representación matricial de un sistema por medio de las ecuaciones que rigen este sistema. El "bypass" es relacionado con que tiene el sistema sin tener entrada, como ocurre en los amplificadores operacionales, que sin tener voltaje de entrada, se puede medir un voltaje en su salida.
Primero se determinan las entradas y las salidas; en este caso la entrada es u, y la salida es y.
Despejar la derivada de mayor orden
Se definen variables de estado hasta orden -1
Orden = mayor derivada
Orden -1 = 2-1 = 1ra derivada
Definir equivalencias
Sustituir variable de estado en la ecuación
Construir matrices de acuerdo a la regla general.
No se deben de olvidar las equivalencias, si no la matriz se vuelve singular
La salida: La salida es y, o bien X1
Ejemplos de variable de estado
Como se presenta una integral en la ecuaciones se pasa la ecuación a términos de Laplace para deshacer la integral y trabajar en términos de derivada.
En esta expresión ya no hay integrales, y se vuelve a dominio del tiempo.
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INDICE DE ING. DE CONTROL
2.6 Procedimiento para el trazo de diagramas de bloques.
El diagrama de bloques es la representación gráfica del funcionamiento interno de un sistema, que se hace mediante bloques y sus relaciones, y que, además, definen la organización de todo el proceso interno, sus entradas y sus salidas.
Un diagrama de bloques de procesos de producción es un diagrama utilizado para indicar la manera en la que se elabora cierto producto, especificando la materia prima, la cantidad de procesos y la forma en la que se presenta el producto terminado.
Un diagrama de bloques de modelo matemático es el utilizado para representar el control de sistemas físicos (o reales) mediante un modelo matemático, en el cual, intervienen gran cantidad de variables que se relacionan en todo el proceso de producción. El modelo matemático que representa un sistema físico de alguna complejidad conlleva a la abstracción entre la relación de cada una de sus partes, y que conducen a la pérdida del concepto global. En ingeniería de control, se han desarrollado una representación gráfica de las partes de un sistema y sus interacciones. Luego de la representación gráfica del modelo matemático, se puede encontrar la relación entre la entrada y la salida del proceso del sistema.
Tipos
· Diagrama de bloques de procesos de producción industrial
Elaboración
El primer bloque especifica la materia prima de la que proviene el producto. Los siguientes bloques son procesos escritos de manera infinitiva y llevan siempre o una indicación de proceso (izquierda) y gastos básicos (derecha)
· Las indicaciones de proceso son variantes del tipo físicas que se deben considerar para que el producto sea de elaboración adecuada. Cada país tiene sus propios estándares para elaborar productos. Las indicaciones de proceso son básicamente la temperatura, la presión y los tiempos de reposo.
· Los gastos básicos son adicciones de ciertas sustancias ajenas a la materia prima auxiliares a un proceso.
2.6.1 Reducción de diagramas de bloques mediante el álgebra de diagramas de bloques.
Un sistema de control puede tener varios componentes. Para mostrar las funciones que lleva acabo cada componente en la ingeniería de control, por lo general se usa una representación denominada diagrama de bloques.
Un diagrama de bloques de un sistema es una representación gráfica de las funciones que lleva a cabo cada componente. Tal diagrama muestra las relaciones existentes entre los diversos componentes.
En un diagrama de bloques se enlazan una con otra todas las variables del sistema, mediante bloques funcionales. El bloque funcional o simplemente bloque es un símbolo para representar la operación matemática que sobre la señal de entrada hace el bloque para producir la salida.
La figura muestra un elemento del diagrama de bloques. La punta de flecha que señala el bloque indica la entrada, y la punta de flecha que se aleja del bloque representa la salida. Tales flechas se conocen como señales.
Observe que las dimensiones de la señal de salida del bloque son las dimensiones de la señal de entrada multiplicadas por las dimensiones de la función de transferencia en el bloque.
Un diagrama de bloques contiene información relacionada con el comportamiento dinámico, pero no incluye información de la construcción física del sistema. En consecuencia, muchos sistemas diferentes y no relacionados pueden representarse mediante el mismo diagrama de bloques.
Reducción de un diagrama de bloques
Es importante señalar que los bloques pueden conectarse en serie, sólo si la entrada de un bloque no se ve afectada por el bloque siguiente. Si hay efectos de carga entre los componentes, es necesario combinarlos en un bloque único.
Un diagrama de bloques complicado que contenga muchos lazos de realimentación se simplifica mediante un reordenamiento paso a paso mediante las reglas del álgebra de los diagramas de bloques. Algunas de estas reglas importantes aparecen en la tabla y se obtienen escribiendo la misma ecuación en formas distintas
2.2. sistema mecanico
2.2.1 De traslación
2.2.2 De rotación
Mecanismos y sistemas mecánicos
Un mecanismo es un conjunto de elementos, conectados entre sí por medio de articulaciones
móviles y cuya misión es:
- transformar una velocidad en otra velocidad
- transformar una fuerza en otra fuerza
- transformar una trayectoria en otra diferente o
- transformar un tipo de energía en otro tipo distinto.
Según el número de elementos, los mecanismos se pueden clasificar como:
- Simples: si tienen dos elementos de enlace.
- Complejos: si tienen más de dos elementos de enlace.
A partir de aquí, definimos sistema mecánico
- Un sistema mecánico o máquina es una combinación de mecanismos que transforma
velocidades, trayectorias, fuerzas o energías mediante una serie de transformaciones
intermedias.
Los movimientos que puede describir un elemento de un mecanismo son:
- Movimiento rectilíneo: en un único sentido
- Movimiento alternativo: o movimiento de vaivén.
- Moviendo circular o de rotación
Los mecanismos (y por extensión los sistemas mecánicos) constan de los siguientes elementos
básicos:
1. Sistema motriz o sistema de entrada: recibe la energía de entrada, la cual será transformada
o transmitida. En un automóvil sería el motor.
2. Sistema transmisor: medio que permite modificar la energía o el movimiento proporcionado
por el sistema motriz. En un automóvil este sistema estaría compuesto por ejes de
transmisión, embragues, caja de cambios, …
3. Sistema receptor o sistema de salida: realiza el trabajo con la salida que le proporciona el
sistema transmisor, y es el objetivo del sistema mecánico. En un automóvil este sistema
estaría compuesto por las ruedas motrices.
Los mecanismos se pueden clasificar en dos grandes grupos diferenciados:
a) Sistemas de transmisión del movimiento: En este caso el sistema motriz y el sistema
receptor tienen el mismo tipo de movimiento. En base a esto, podemos encontrar dos tipos de
sistemas de transmisión:
o Mecanismos de transmisión lineal: movimiento rectilíneos en movimientos rectilíneos
(poleas, palancas, etc)
Mecanismos de transmisión circular: movimientos de rotación en otra rotación
(transmisión por correas, con cadenas, engranajes, …)
b) Sistemas de transformación del movimiento: En este caso el sistema motriz y el sistema
receptor tienen distinto tipo de movimiento. En base a esto, podemos encontrar dos tipos de
sistemas de transformación:
o Mecanismos que transforman el movimiento circular en rectilíneo
o Mecanismos que transforman el movimiento circular en alternativo
Sistemas Mecánicos
Se dividen en:
Sistemas de traslación
Sistemas de rotación
Sistemas Mecánicos de Rotación
Inercia
La inercia de un elemento depende de la composición geométrica alrededor del eje de rotación y de su densidad
Para un disco circular J = 1/2Mr2 M=Masa
r=radio
2.3 SISTEMA Análogos
La electrónica analógica es una parte de la electrónica que estudia los sistemas en los cuales sus variables; tensión, corriente, ..., varían de una forma continua en el tiempo, pudiendo tomar infinitos valores (al menos teóricamente). En contraposición se encuentra la electrónica digital donde las variables solo pueden tomar valores discretos, teniendo siempre un estado perfectamente definido
Pongamos un ejemplo:
Disponemos de una medida real concreta; la longitud total de un coche:
En un sistema digital esta medida podría ser de 4 metros o de 4 metros y 23 centímetros. Podremos darle la precisión que queramos pero siempre serán cantidades enteras
En un sistema analógico la medida seria la real; es decir 4,233648596... en teoría hasta que llegásemos a la mínima cantidad de materia existente (siempre que el sistema de medida sea lo suficientemente exacto).
Historia
Se considera que la electrónica comenzó con el diodo de vacío inventado por John Ambrose Fleming en 1904. El funcionamiento de este dispositivo está basado en el efecto Edison. Edison fue el primero que observó en 1883 la emisión termoiónica, al colocar una lámina dentro de una bombilla para evitar el ennegrecimiento que producía en la ampolla de vidrio el filamento de carbón. Cuando se polarizaba positivamente la lámina metálica respecto al filamento, se producía una pequeña corriente entre el filamento y la lámina. Este hecho se producía porque los electrones de los átomos del filamento, al recibir una gran cantidad de energía en forma de calor, escapaban de la atracción del núcleo (emisión termoiónica) y, atravesando el espacio vacío dentro de la bombilla, eran atraídos por la polaridad positiva de la lámina.
El otro gran paso lo dio Lee De Forest cuando inventó el triodo en 1906. Este dispositivo es básicamente como el diodo de vacío, pero se le añadió una rejilla de control situada entre el cátodo y la placa con el objeto de modificar la nube electrónica del cátodo, variando así la corriente de placa. Esto fue muy importante para que se fabricaran los primeros amplificadores de sonido, receptores de radio, televisores, etc.
Conforme pasaba el tiempo las válvulas de vacío se fueron perfeccionando y mejorando, apareciendo otros tipos, como los tetrodos (válvulas de cuatro electrodos), los pentodos (cinco electrodos), otras válvulas para aplicaciones de alta potencia, etc. Dentro de los perfeccionamientos de las válvulas se encontraba su miniaturización.
Pero fue definitivamente con el transistor, aparecido de la mano de Bardeen y Brattain de la Bell Telephone en 1948, cuando se permitió aún una mayor miniaturización de los aparatos tales como las radios. El transistor de unión apareció algo más tarde en 1949, este es el dispositivo utilizado actualmente para la mayoría de las aplicaciones de la electrónica analógica. Sus ventajas respecto a las válvulas son entre otras: menor tamaño y fragilidad, mayor rendimiento energético, menores tensiones de alimentación, etc. El transistor no funciona en vacío como las válvulas, sino en un estado sólido semiconductor (silicio), razón por la que no necesitan centenares de voltios de tensión para funcionar.
A pesar de la expansión de los semiconductores, todavía se siguen utilizando, en pequeños círculos audiófilos, las válvulas porque parecen ofrecer unas cualidades sonoras que no muestran los transistores.
El transistor tiene tres terminales, el emisor, la base y el colector, se asemeja a un triodo, la base sería la rejilla de control, el emisor el cátodo, y el colector la placa, polarizando adecuadamente estos tres terminales, se consigue controlar una gran corriente de colector a partir de una pequeña corriente de base.
El diodo de vacío fue desbancado más rápidamente que las válvulas amplificadoras por el diodo semiconductor que se empezó a utilizar en 1920, aunque se conocía de más antiguo por ser utilizado en el receptor de radio a galena, un diodo que estaba formado por cristal de galena.
2.1. función de tranferencia
Función de transferencia
Una función de transferencia es un modelo matemático que a través de un cociente relaciona la respuesta de un sistema (modelada) a una señal de entrada o excitación (también modelada). En la teoría de control, a menudo se usan las funciones de transferencia para caracterizar las relaciones de entrada y salida de componentes o de sistemas que se describen mediante ecuaciones diferenciales lineales e invariantes en el tiempo.
Definición
La podemos definir formalmente como:
La función de trasferencia de un sistema lineal e invariante en el tiempo (LTI), se define como el cociente entre la transformada de Laplace de la salida y la transformada de Laplace de la entrada, bajo la suposición de que las condiciones iniciales son nulas.
El pico formado por los modelos de la señal de salida respecto de la señal de entrada, permite encontrar los ceros y los polos, respectivamente. Y que representan las raíces en las que cada uno de los modelos del cociente se iguala a cero. Es decir, representa la región frontera a la que no debe llegar ya sea la respuesta del sistema o la excitación al mismo; ya que de lo contrario llegará ya sea a la región nula o se irá al infinito, respectivamente.
Considerando la temporalidad; es decir, que la excitación al sistema tarda un tiempo en generar sus efectos en el sistema en cuestión y que éste tarda otro tiempo en dar respuesta. Esta condición es vista a través de un proceso de convolución, formado por la excitación de entrada convolucionada con el sistema considerado, dando como resultado, la respuesta dentro de un intervalo de tiempo. Ahora, en ese sentido (el de la convolución), se tiene que observar que la función de transferencia está formada por la deconvolución entre la señal de entrada con el sistema. Dando como resultado la descripción externa de la operación del sistema considerado. De forma que el proceso de contar con la función de transferencia del sistema a través de la deconvolución, se logra de forma matricial o vectorial, considerando la pseudoinversa de la matriz o vector de entrada multiplicado por el vector de salida, para describir el comportamiento del sistema dentro de un intervalo dado. Pareciera un proceso complicado, aunque solo baste ver que la convolución discreta es representada por un producto de un vector o matriz fija respecto de una matriz o vector móvil, o que en forma tradicional se observa como una sumatoria.
Descripción matemática
Uno de los primeros matemáticos en describir estos modelos fue Laplace, a través de su transformación matemática.
Por definición una función de transferencia se puede determinar según la expresión:
donde H (s) es la función de transferencia (también notada como G (s) ); Y (s) es la transformada de Laplace de la respuesta y X (s) es la transformada de Laplace de la señal de entrada.
La función de transferencia también puede considerarse como la respuesta de un sistema inicialmente inerte a un impulso como señal de entrada:
lunes, 16 de diciembre de 2013
2.4 Sistemas análogos
Un sistema es analógico cuando las magnitudes de la señal se representan mediante variables continuas, esto es análogas a las magnitudes que dan lugar a la generación de esta señal. Un sistema analógico contiene dispositivos que manipulan cantidades físicas representadas en forma analógica. En un sistema de este tipo, las cantidades varían sobre un intervalo continuo de valores.
Así, una magnitud analógica es aquella que toma valores continuos. Una magnitud digital es aquella que toma un conjunto de valores discretos.
La mayoría de las cosas que se pueden medir cuantitativamente aparecen en la naturaleza en forma analógica. Un ejemplo de ello es la temperatura: a lo largo de un día la temperatura no varía entre, por ejemplo, 20 ºC o 25 ºC de forma instantánea, sino que alcanza todos los infinitos valores que entre ese intervalo. Otros ejemplos de magnitudes analógicas son el tiempo, la presión, la distancia, el sonido.
2.4.1 Analogía fuerza-tensión
Esta correspondencia es conocida como analogía de impedancia, o Fuerza-Tensión, y se representa en la siguiente tabla:
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